Муниципальное общеобразовательное учреждение
Беломорского муниципального округа
«Сумпосадская средняя общеобразовательная школа»
Принята
на педагогическом совете
(протокол № 1 от 31.08.2026г.)
«Утверждаю»
Директор
В.А.Ломаш
Рабочая программа учебного предмета
«Геометрия»
(среднее общее образование, углублённый уровень )
Срок реализации 2 года
Составители: Чернявская А.Н.,
учитель математики
Республика Карелия
Беломорский район
с. Сумский Посад
СОДЕРЖАНИЕ ОБУЧЕНИЯ
10 КЛАСС
Прямые и плоскости в пространстве
Основные понятия стереометрии. Точка, прямая, плоскость, пространство. Понятие об
аксиоматическом построении стереометрии: аксиомы стереометрии и следствия из них.
Взаимное расположение прямых в пространстве: пересекающиеся, параллельные и
скрещивающиеся прямые. Признаки скрещивающихся прямых. Параллельность прямых и плоскостей в
пространстве: параллельные прямые в пространстве, параллельность трёх прямых, параллельность
прямой и плоскости. Параллельное и центральное проектирование, изображение фигур. Основные
свойства параллельного проектирования. Изображение фигур в параллельной проекции. Углы с
сонаправленными сторонами, угол между прямыми в пространстве. Параллельность плоскостей:
параллельные плоскости, свойства параллельных плоскостей. Простейшие пространственные фигуры
на плоскости: тетраэдр, параллелепипед, построение сечений.
Перпендикулярность прямой и плоскости: перпендикулярные прямые в пространстве, прямые
параллельные и перпендикулярные к плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости,
теорема о прямой перпендикулярной плоскости. Ортогональное проектирование. Перпендикуляр и
наклонные: расстояние от точки до плоскости, расстояние от прямой до плоскости, проекция фигуры на
плоскость. Перпендикулярность плоскостей: признак перпендикулярности двух плоскостей. Теорема о
трёх перпендикулярах.
Углы в пространстве: угол между прямой и плоскостью, двугранный угол, линейный угол
двугранного угла. Трёхгранный и многогранные углы. Свойства плоских углов многогранного угла.
Свойства плоских и двугранных углов трёхгранного угла. Теоремы косинусов и синусов для
трёхгранного угла.
Многогранники
Виды многогранников, развёртка многогранника. Призма: n-угольная призма, прямая и наклонная
призмы, боковая и полная поверхность призмы. Параллелепипед, прямоугольный параллелепипед и его
свойства. Кратчайшие пути на поверхности многогранника. Теорема Эйлера. Пространственная теорема
Пифагора. Пирамида: n-угольная пирамида, правильная и усечённая пирамиды. Свойства рёбер и
боковых граней правильной пирамиды. Правильные многогранники: правильная призма и правильная
пирамида, правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр, куб. Представление о правильных
многогранниках: октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Вычисление элементов многогранников: рёбра, диагонали, углы. Площадь боковой поверхности и
полной поверхности прямой призмы, площадь оснований, теорема о боковой поверхности прямой
призмы. Площадь боковой поверхности и поверхности правильной пирамиды, теорема о площади
усечённой пирамиды.
Симметрия в пространстве. Элементы симметрии правильных многогранников. Симметрия в
правильном многограннике: симметрия параллелепипеда, симметрия правильных призм, симметрия
правильной пирамиды.
Векторы и координаты в пространстве
Понятия: вектор в пространстве, нулевой вектор, длина ненулевого вектора, векторы
коллинеарные, сонаправленные и противоположно направленные векторы. Равенство векторов.
Действия с векторами: сложение и вычитание векторов, сумма нескольких векторов, умножение
вектора на число. Свойства сложения векторов. Свойства умножения вектора на число. Понятие
компланарные векторы. Признак компланарности трёх векторов. Правило параллелепипеда. Теорема о
разложении вектора по трём некомпланарным векторам. Прямоугольная система координат в
пространстве. Координаты вектора. Связь между координатами вектора и координатами точек. Угол
между векторами. Скалярное произведение векторов.
11 КЛАСС
Тела вращения
Понятия: цилиндрическая поверхность, коническая поверхность, сферическая поверхность,
образующие поверхностей. Тела вращения: цилиндр, конус, усечённый конус, сфера, шар. Взаимное
расположение сферы и плоскости, касательная плоскость к сфере. Изображение тел вращения на
плоскости. Развёртка цилиндра и конуса. Симметрия сферы и шара.
Объём. Основные свойства объёмов тел. Теорема об объёме прямоугольного параллелепипеда и
следствия из неё. Объём прямой и наклонной призмы, цилиндра, пирамиды и конуса. Объём шара и
шарового сегмента.
Комбинации тел вращения и многогранников. Призма, вписанная в цилиндр, описанная около
цилиндра. Пересечение сферы и шара с плоскостью. Касание шара и сферы плоскостью. Понятие
многогранника, описанного около сферы, сферы, вписанной в многогранник или тело вращения.
Площадь поверхности цилиндра, конуса, площадь сферы и её частей. Подобие в пространстве.
Отношение объёмов, площадей поверхностей подобных фигур. Преобразование подобия, гомотетия.
Решение задач на плоскости с использованием стереометрических методов.
Построение сечений многогранников и тел вращения: сечения цилиндра (параллельно и
перпендикулярно оси), сечения конуса (параллельные основанию и проходящие через вершину),
сечения шара, методы построения сечений: метод следов, метод внутреннего проектирования, метод
переноса секущей плоскости.
Векторы и координаты в пространстве
Векторы в пространстве. Операции над векторами. Векторное умножение векторов. Свойства
векторного умножения. Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора.
Разложение вектора по базису. Координатно-векторный метод при решении геометрических задач.
Движения в пространстве
Движения пространства. Отображения. Движения и равенство фигур. Общие свойства движений.
Виды движений: параллельный перенос, центральная симметрия, зеркальная симметрия, поворот вокруг
прямой. Преобразования подобия. Прямая и сфера Эйлера.
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ УЧЕБНОГО КУРСА «ГЕОМЕТРИЯ»
(УГЛУБЛЕННЫЙ УРОВЕНЬ) НА УРОВНЕ СРЕДНЕГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
ЛИЧНОСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
1) гражданское воспитание:
сформированность гражданской позиции обучающегося как активного и ответственного члена
российского общества, представление о математических основах функционирования различных
структур, явлений, процедур гражданского общества (выборы, опросы и другое), умение
взаимодействовать с социальными институтами в соответствии с их функциями и назначением;
2) патриотическое воспитание:
сформированность российской гражданской идентичности, уважения к прошлому и настоящему
российской математики, ценностное отношение к достижениям российских математиков и российской
математической школы, использование этих достижений в других науках, технологиях, сферах
экономики;
3) духовно-нравственное воспитание:
осознание духовных ценностей российского народа, сформированность нравственного сознания,
этического поведения, связанного с практическим применением достижений науки и деятельностью
учёного, осознание личного вклада в построение устойчивого будущего;
4) эстетическое воспитание:
эстетическое отношение к миру, включая эстетику математических закономерностей, объектов,
задач, решений, рассуждений, восприимчивость к математическим аспектам различных видов
искусства;
5) физическое воспитание:
сформированность умения применять математические знания в интересах здорового и
безопасного образа жизни, ответственное отношение к своему здоровью (здоровое питание,
сбалансированный режим занятий и отдыха, регулярная физическая активность), физическое
совершенствование при занятиях спортивно-оздоровительной деятельностью;
6) трудовое воспитание:
готовность к труду, осознание ценности трудолюбия, интерес к различным сферам
профессиональной деятельности, связанным с математикой и её приложениями, умение совершать
осознанный выбор будущей профессии и реализовывать собственные жизненные планы, готовность и
способность к математическому образованию и самообразованию на протяжении всей жизни,
готовность к активному участию в решении практических задач математической направленности;
7) экологическое воспитание:
сформированность экологической культуры, понимание влияния социально-экономических
процессов на состояние природной и социальной среды, осознание глобального характера
экологических проблем, ориентация на применение математических знаний для решения задач в
области окружающей среды, планирование поступков и оценки их возможных последствий для
окружающей среды;
8) ценности научного познания:
сформированность мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки и
общественной практики, понимание математической науки как сферы человеческой деятельности,
этапов её развития и значимости для развития цивилизации, овладение языком математики и
математической культурой как средством познания мира, готовность осуществлять проектную и
исследовательскую деятельность индивидуально и в группе.
МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Познавательные универсальные учебные действия
Базовые логические действия:
выявлять и характеризовать существенные признаки математических объектов, понятий,
отношений между понятиями, формулировать определения понятий, устанавливать существенный
признак классификации, основания для обобщения и сравнения, критерии проводимого анализа;
воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и отрицательные,
единичные, частные и общие, условные;
выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах, данных,
наблюдениях и утверждениях, предлагать критерии для выявления закономерностей и противоречий;
делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных умозаключений,
умозаключений по аналогии;
проводить самостоятельно доказательства математических утверждений (прямые и от
противного), выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры, обосновывать
собственные суждения и выводы;
выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения, выбирать
наиболее подходящий с учётом самостоятельно выделенных критериев).
Базовые исследовательские действия:
использовать вопросы как исследовательский инструмент познания, формулировать вопросы,
фиксирующие противоречие, проблему, устанавливать искомое и данное, формировать гипотезу,
аргументировать свою позицию, мнение;
проводить самостоятельно спланированный эксперимент, исследование по установлению
особенностей математического объекта, явления, процесса, выявлению зависимостей между объектами,
явлениями, процессами;
самостоятельно формулировать обобщения и выводы по результатам проведённого наблюдения,
исследования, оценивать достоверность полученных результатов, выводов и обобщений;
прогнозировать возможное развитие процесса, а также выдвигать предположения о его развитии в
новых условиях.
Работа с информацией:
выявлять дефициты информации, данных, необходимых для ответа на вопрос и для решения
задачи;
выбирать информацию из источников различных типов, анализировать, систематизировать и
интерпретировать информацию различных видов и форм представления;
структурировать информацию, представлять её в различных формах, иллюстрировать графически;
оценивать надёжность информации по самостоятельно сформулированным критериям.
Коммуникативные универсальные учебные действия
Общение:
воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями общения, ясно,
точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и письменных текстах, давать пояснения по ходу
решения задачи, комментировать полученный результат;
в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы, решаемой
задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения, сопоставлять свои суждения с суждениями
других участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций, в корректной форме
формулировать разногласия, свои возражения;
представлять результаты решения задачи, эксперимента, исследования, проекта, самостоятельно
выбирать формат выступления с учётом задач презентации и особенностей аудитории.
Регулятивные универсальные учебные действия
Самоорганизация:
составлять план, алгоритм решения задачи, выбирать способ решения с учётом имеющихся
ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и корректировать варианты решений с учётом
новой информации.
Самоконтроль, эмоциональный интеллект:
владеть навыками познавательной рефлексии как осознания совершаемых действий и
мыслительных процессов, их результатов, владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и
результата решения математической задачи;
предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить коррективы в
деятельность на основе новых обстоятельств, данных, найденных ошибок, выявленных трудностей;
оценивать соответствие результата цели и условиям, объяснять причины достижения или
недостижения результатов деятельности, находить ошибку, давать оценку приобретённому опыту.
Совместная деятельность:
понимать и использовать преимущества командной и индивидуальной работы при решении
учебных задач, принимать цель совместной деятельности, планировать организацию совместной
работы, распределять виды работ, договариваться, обсуждать процесс и результат работы, обобщать
мнения нескольких людей;
участвовать в групповых формах работы (обсуждения, обмен мнений, «мозговые штурмы» и
иные), выполнять свою часть работы и координировать свои действия с другими членами команды,
оценивать качество своего вклада в общий продукт по критериям, сформулированным участниками
взаимодействия.
ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
К концу 10 класса обучающийся научится:
• свободно оперировать основными понятиями стереометрии при решении задач и проведении
математических рассуждений;
• применять аксиомы стереометрии и следствия из них при решении геометрических задач;
• классифицировать взаимное расположение прямых в пространстве, плоскостей в пространстве,
прямых и плоскостей в пространстве;
• свободно оперировать понятиями, связанными с углами в пространстве: между прямыми в
пространстве, между прямой и плоскостью;
• свободно оперировать понятиями, связанными с многогранниками;
• свободно распознавать основные виды многогранников (призма, пирамида, прямоугольный
параллелепипед, куб);
• классифицировать многогранники, выбирая основания для классификации;
• свободно оперировать понятиями, связанными с сечением многогранников плоскостью;
• выполнять параллельное, центральное и ортогональное проектирование фигур на плоскость,
выполнять изображения фигур на плоскости;
• строить сечения многогранников различными методами, выполнять (выносные) плоские
чертежи из рисунков простых объёмных фигур: вид сверху, сбоку, снизу;
• вычислять площади поверхностей многогранников (призма, пирамида), геометрических тел с
применением формул;
• свободно оперировать понятиями: симметрия в пространстве, центр, ось и плоскость
симметрии, центр, ось и плоскость симметрии фигуры;
• свободно оперировать понятиями, соответствующими векторам и координатам в пространстве;
• выполнять действия над векторами;
• решать задачи на доказательство математических отношений и нахождение геометрических
величин, применяя известные методы при решении математических задач повышенного и
высокого уровня сложности;
• применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при
решении стереометрических задач;
• извлекать, преобразовывать и интерпретировать информацию о пространственных
геометрических фигурах, представленную на чертежах и рисунках;
• применять полученные знания на практике: сравнивать и анализировать реальные ситуации,
применять изученные понятия в процессе поиска решения математически сформулированной
проблемы, моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные
модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры, решать
практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин;
• иметь представления об основных этапах развития геометрии как составной части фундамента
развития технологий.
К концу 11 класса обучающийся научится:
• свободно оперировать понятиями, связанными с цилиндрической, конической и сферической
поверхностями, объяснять способы получения;
• оперировать понятиями, связанными с телами вращения: цилиндром, конусом, сферой и
шаром;
• распознавать тела вращения (цилиндр, конус, сфера и шар) и объяснять способы получения тел
вращения;
• классифицировать взаимное расположение сферы и плоскости;
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
вычислять величины элементов многогранников и тел вращения, объёмы и площади
поверхностей многогранников и тел вращения, геометрических тел с применением формул;
свободно оперировать понятиями, связанными с комбинациями тел вращения и
многогранников: многогранник, вписанный в сферу и описанный около сферы, сфера,
вписанная в многогранник или тело вращения;
вычислять соотношения между площадями поверхностей и объёмами подобных тел;
изображать изучаемые фигуры, выполнять (выносные) плоские чертежи из рисунков простых
объёмных фигур: вид сверху, сбоку, снизу, строить сечения тел вращения;
извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о пространственных
геометрических фигурах, представленную на чертежах и рисунках;
свободно оперировать понятием вектор в пространстве;
выполнять операции над векторами;
задавать плоскость уравнением в декартовой системе координат;
решать геометрические задачи на вычисление углов между прямыми и плоскостями,
вычисление расстояний от точки до плоскости, в целом, на применение векторнокоординатного метода при решении;
свободно оперировать понятиями, связанными с движением в пространстве, знать свойства
движений;
выполнять изображения многогранников и тел вращения при параллельном переносе,
центральной симметрии, зеркальной симметрии, при повороте вокруг прямой, преобразования
подобия;
строить сечения многогранников и тел вращения: сечения цилиндра (параллельно и
перпендикулярно оси), сечения конуса (параллельные основанию и проходящие через
вершину), сечения шара;
использовать методы построения сечений: метод следов, метод внутреннего проектирования,
метод переноса секущей плоскости;
доказывать геометрические утверждения;
применять геометрические факты для решения стереометрических задач, предполагающих
несколько шагов решения, если условия применения заданы в явной и неявной форме;
решать задачи на доказательство математических отношений и нахождение геометрических
величин;
применять программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении
стереометрических задач;
применять полученные знания на практике: сравнивать, анализировать и оценивать реальные
ситуации, применять изученные понятия, теоремы, свойства в процессе поиска решения
математически сформулированной проблемы, моделировать реальные ситуации на языке
геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и
теорем, аппарата алгебры, решать практические задачи, связанные с нахождением
геометрических величин;
иметь представления об основных этапах развития геометрии как составной части фундамента
развития технологий.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
10 КЛАСС
№
п/
п
Наименование
разделов и тем
программы
Количество часов
Всег
о
Контрольны
е работы
Практически
е работы
Электронные (цифровые)
образовательные ресурсы
1
Введение в
стереометрию
23
1
https://m.edsoo.ru/N9W8B1M6
E
2
Взаимное
расположение
прямых в
пространстве
6
1
https://m.edsoo.ru/M1C9A4D4
D
3
Параллельность
прямых и
плоскостей в
пространстве
8
https://m.edsoo.ru/U8Z8I4V3R
4
Перпендикулярност
ь прямых и
плоскостей в
пространстве
25
https://m.edsoo.ru/L5O0L9D0R
5
Углы и расстояния
16
1
https://m.edsoo.ru/G6I4X9S1B
6
Многогранники
7
1
https://m.edsoo.ru/K4I5V4D7F
7
Векторы в
пространстве
12
8
Повторение,
обобщение и
систематизация
знаний
5
2
102
6
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО
ЧАСОВ ПО ПРОГРАММЕ
https://m.edsoo.ru/H2P5B1T9O
https://m.edsoo.ru/J7Z9U1K8F
0
11 КЛАСС
№
п/п
Наименование
разделов и тем
программы
Количество часов
Всего
Контрольные
работы
Практические
работы
Электронные (цифровые)
образовательные ресурсы
1
Аналитическая
геометрия
15
1
https://m.edsoo.ru/J9C7F5W6J
2
Повторение,
обобщение и
систематизация
знаний
15
1
https://m.edsoo.ru/R7X1L1N2P
3
Объём
многогранника
17
1
https://m.edsoo.ru/Y9Z0G7Y8Y
4
Тела вращения
24
1
https://m.edsoo.ru/G9A1L2B2Z
5
Площади
поверхности и
объёмы круглых
тел
9
1
https://m.edsoo.ru/J2X2C6B1R
6
Движения
5
1
https://m.edsoo.ru/B5G9R2C5E
7
Повторение,
обобщение и
систематизация
знаний
17
2
https://m.edsoo.ru/C3B5O8K3V
102
8
ОБЩЕЕ КОЛИЧЕСТВО
ЧАСОВ ПО
ПРОГРАММЕ
0
